t-Verteilung

t-Verteilung,

 

Studẹnt-Verteilung, mathematische Statistik: von W. S. Gosset (Pseudonym: Student) 1907/08 angegebene Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen X, die t-verteilt mit n Freiheitsgraden für n ∈ ℕ heißt, falls sie die Dichtefunktion

 

besitzt, wobei Γ (x) die Gammafunktion ist. Im Fall n = 1 (Cauchy-Verteilung) besitzt sie keinen Erwartungswert, für n ≦ 2 den Erwartungswert 0 und für n ≦ 3 die Varianz n / (n — 2). Der Graph von f (x) verläuft für kleine |x| unterhalb, für größere |x| oberhalb der gaußschen Normalverteilung und nähert sich dieser mit wachsendem n an. Sind Y und Z unabhängige Zufallsvariablen, ist Y normalverteilt mit dem Erwartungswert 0 und der Streuung 1 und ist Z χ²-verteilt (Chi-Quadrat-Verteilung) mit n Freiheitsgraden, so besitzt X = Y / eine t-V. mit n Freiheitsgraden. Die t-V. findet aufgrund dieser Eigenschaft häufig Anwendung in der mathematischen Statistik, z. B. beim t-Test (Student-Test). Dieser dient z. B. dem Vergleich zweier Mittelwerte aus normalverteilten Grundgesamtheiten Y und Z vom Umfang n₁ beziehungsweise n₂ mit unbekannten Streuungen, sofern diese als gleich angenommen werden dürfen.